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已知一圆锥的母线长为4,若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0,4
3
]
,则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于
 
分析:根据当圆锥的轴截面顶角≥90°时,过顶点的截面面积的最大值为
1
2
l2;判断圆锥的轴截面的顶角<90°,利用
1
2
×2r×
42-r2
=4
3
,求出r,根据侧面展开图扇形圆心角θ=
r
l
•2π
求θ.
解答:解:∵圆锥的轴截面顶角≥90°时,过顶点的截面面积的最大值为
1
2
×4×4=8>4
3

∴圆锥的轴截面为锐角三角形
∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积,
1
2
×2r×
42-r2
=4
3
(r为圆锥底面半径),
解得r=2或r=2
3

∴侧面展开图扇形圆心角θ=
r
l
•2π
=
2
4
•2π=π
,或θ=
2
3
4
•2π
=
3
π

∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π或
3
π

故答案是π或
3
π.
点评:本题考查了过圆锥的顶点的截面面积问题,考查了圆锥侧面展开图的圆心角公式,当圆锥的轴截面顶角≥90°时,过顶点的截面面积的最大值为
1
2
l2
当圆锥的轴截面顶角<90°时,过顶点的截面面积的最大值为轴截面面积.
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