Question

已知数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…＞（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{an}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
则a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，
又a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
则a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
从而a_n+1-a_n=1．
又由已知易得a₁=1，所以数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列
所以a_n=n．
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，∴，
令f（x）=lnx-x+1，x＞1
∵f'（x）=-1=，
∴f（x）单调递减，
那么f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1
∴当n≥2，n∈N^*时，0＜lnn＜n-1，
∴，
∵当n≥2，n∈N时，，
∴两式相乘有，…（9分）
∴
=
＞，
=1+-
=
=（n≥2，n∈N^*）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由数列{an}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，知a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，所以a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），a_n+1²-a_n+1=2S_n，由a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，知a_n²+a_n=2S_n．所以2a_n+1=（a_n+1²-q_n²）+（a_n+1-a_n），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，知，由当n≥2，n∈N^*时，0＜lnn＜n-1，知，由当n≥2，n∈N时，，知，由上此能够证明＞．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．