Question

设函数f（x）=e^x-ax-2。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f ′（x）+x+1＞0，求k的最大值。

Answer 1

解：（1）函数f（x）=e^x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，
所以函数f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e^x-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e^x-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增。
（2）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1
故当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①
令g（x）=，则g′（x）=
由（1）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；
当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）
又由g′（α）=0，可得e^α=α+2
所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），
故整数k的最大值为2。