Question

10．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①②④
①f（x）=x²（x≥0）；   
②f（x）=2^x（x∈R）；
③f（x）=$\frac{4x}{{{x^2}+1}}$（x≥0）；
④$f（x）={log_a}（{a^x}-\frac{1}{8}）（a＞0，a≠1）$．

Answer 1

分析 利用“倍值区间”的意义，只要方程f（x）=2x在定义域内存在两个不同实数根即可得出．

解答 解：①假设函数f（x）存在“倍值区间”[a，b]，由于x≥0，∴函数f（x）在[a，b]上单调递增，令x²=2x，解得x=0，2，∴[0，2]是函数f（x）的“倍值区间”；
同理可得：②存在“倍值区间”[1，2]；③不存在“倍值区间”．
④假设函数f（x）存在“倍值区间”[a，b]，令$lo{g}_{a}（{a}^{x}-\frac{1}{8}）$=2x，化为8（a^x）²-8a^x+1=0，∵△=64-32=32＞0，解得a^x=$\frac{2±\sqrt{2}}{4}$，因此x有两个不同的实数值满足方程．∴假设正确．
综上可得：只有①②④存在“倍值区间”．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了系新定义“倍值区间”、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．