Question

设定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）如果x＞0，f（x）＜0，求证在R上是减函数．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可求得f（0）=0，再令y=-x即可证得f（x）为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）判断其符号即可证得结论．

解答：（1）证明：∵函数f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函数f（x）为减函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查分析转化的能力，属于中档题．