Question

数列中各项为正数，为其前n项和，对任意，总有成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在最大正整数p，使得命题“，”是真命题？若存在，求出p；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据是等差数列，得到,当时，两式相减整理得到关于数列的递推公式，可以知道数列是等差数列，利用求出首项;

(2)第一种方法就是首先假设存在正整数,满足，利用代入得成立即中的最大整数，设,,利用导数易知函数的单调性，易求函数的最小值，

第二种方法设函数，求其导数，得到函数是单调递增函数，其最大值小于0，求出p的范围.

试题解析：（1）由已知时，，∴

两式相减，得 ∴

又为正数，∴. 4分

∴是公差为1的等差数列.

当时，，得，∴. 6分

（2）解法1：假设存在正整数p，满足，即.

∴ 8分

设函数，则.

当时，，∴在[1，+∞）上为增函数.

∴，即有.

∵p为满足的最大正整数，而，故. 12分

解法2：设，

，

故在[1，+∞）上为减函数， 9分

.

令. ∵，

故使成立的最大正整数. 12分

考点：1.已知求;2.利用函数的导数求其最值.