Question

（2009•大连二模）如图所示，若向圆x²+y²=2内随机投一点（该点落在圆x²+y²=2内任何一点是等可能的），则所投的点落在圆与y轴及曲线y=x²（x≥0）围成的阴影图形S内部的概率是（　　）

• A．

  1

  4

  -

  1

  6π

• B．

  1

  12π

• C．

  1

  8

• D．

  1

  8

  +

  1

  12π

Answer 1

分析：联立抛物线与椭圆的方程，求出抛物线与椭圆在第一象限的交点A（1，1），利用定积分求出阴影部分的面积，则所投点落在阴影图形内的概率为阴影部分的面积比上圆的面积．

解答：解：由

x2+y2=2 y=x2

，得

x=-1 y=1

或

x=1 y=1

．
所以抛物线y=x²与圆x²+y²=2在第一象限的交点为A（1，1）．
如图，

连接OA，则图中阴影部分的面积等于八分之一圆的面积加上直线y=x与抛物线y=x²所
交阴影部分的面积．
所以阴影部分的面积S=

1

8

×2π

+∫

1 0

(x-x2)dx=

π

4

+(

1

2

x2-

1

3

x3

)|

1 0

=

π

4

+

1

6

．
所以，所投的点落在圆与y轴及曲线y=x²（x≥0）围成的阴影图形S内部的概率是P=

π 4 + 1 6

2π

=

1

8

+

1

12π

．
故选D．

点评：本题考查了定积分，考查了几何概型，解答此题的关键是求解阴影部分的面积，此题是中档题．