Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点（a_n•a_n+1）在直线y=2x+1上，数列{b_n}满足b1=a1，

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2).
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求证：(1+b1)(1+b2)•…•(1+bn)＜

10

3

b1b2•…•bn(n∈Nh*).

Answer 1

分析：（1）把点（a_n•a_n+1）代入直线方程求得数列的递推式，整理得a_n+1+1=2（a_n+1），判断出{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得a_n．同时根据

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+••+

1

an-1

(n≥2)求得

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+••+

1

an-1

+

1

an

，进而判断出

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

整理得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0，进而看当n=1时b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．，综合可得答案．
（2）根据（1）可知

bn+1

bn+1

=

an

an+1

(n≥2)进而求得(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)=2(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)，先看当k≥2时求得

1

ak

-

1

2k-1

=

2k+1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

，进而可知(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.进而再看n=1时不等式也成立．原式得证．

解答：解：（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，∴a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），
即（a_n+1）是以2为首项，2为公比的等比数列∴a_n=2ⁿ-1
又

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2)
∴

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

∴

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
当n=1时，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3
则b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．

（2）由（1）知

bn+1

bn+1

=

an

an+1

(n≥2)，b2=a2
∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

••

bn+1

bn

=

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

••

bn-1

bn

•

bn+1

bn+1

•bn+1=

1

b1

•

b1+1

b2

•

a2

a3

•

a3

a4

••

an-1

an

•

an

an+1

•bn+1=2•

bn+1

an+1

=2(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)．
∵k≥2时，

1

ak

-

1

2k-1

=

2k+1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

3

+••+

1

2n-1

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+••+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=1+2(

1

3

-

1

2n+1-1

)＜

5

3

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.
另证：当n≥2时2^n-2≥1（仅当n=2取等号）
∴2ⁿ-1≥3•2^n-2，即

1

an

-

1

2n-1

≤

1

3

•

1

2n-2

(n≥2)
∴当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

3

(1+

1

2

+…+

1

2n-2

)=1+

1

3

•

1- 1 2n-1

1- 1 2

=

5

3

-

1

2n-2

＜

5

3

而n=1显然成立
∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)＜

10

3

即(1+b1)(1+b2)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.

点评：本题主要考查了不等式和数列的综合，数列通项公式的确定，考查了学生综合运用不等式和数列知识解决问题的能力．