Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，求证：ln（n+1）+2

n

i+1

i

i+1

＞nln（2e）（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x）=

x-a

x2

，x＞0，再讨论①a≤0时，②a＞0时的情况，从而求出函数的最小值；
（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-

2

x

=ln（2e）-

2

x

（*），分别令x=

2

1

，

3

2

…，

n+1

n

代入（*）得下列n个不等式，得ln

2

1

++ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＞nln（2e）-2（

1

2

+2×

2

3

+…+2×

n

n+1

），进而证明ln（n+1）+2

n

i=1

i

i+1

＞nln（2e）．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

x-a

x2

，x＞0，
①a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）无最值，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（a）=lna+1，
综上，a≤0时，f（x）无最值，a＞0时，f（x）_min=f（a）=lna+1，
（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，
即

2

x

+lnx≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-

2

x

=ln（2e）-

2

x

（*），
∴分别令x=

2

1

，

3

2

…，

n+1

n

代入（*）得下列n个不等式，
ln

2

1

＞ln（2e）-

2

2 1

=ln（2e）-2×

1

2

，
ln

3

2

＞ln（2e）-

2

3 2

=ln（2e）-2×

2

3

，
…，
ln

n+1

n

＞ln（2e）-（2×

n

n+1

），
将所述n个不等式相加得：
ln

2

1

++ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＞nln（2e）-2（

1

2

+2×

2

3

+…+2×

n

n+1

），
∴ln（n+1）＞nln（2e）-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

），
即ln（n+1）+2

n

i=1

i

i+1

＞nln（2e）．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．