Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=2，∠ABC=90°，点A₁在底面ABC的投影为B，且A₁B=2

3

．
（1）证明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（2）设P为B₁C₁上一点，当PA=

29

时，求二面角A₁-AB-P的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得A₁B⊥BC，由直角性质得AB⊥BC，从而得到BC⊥平面AA₁B₁B，由此能证明平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（2）由B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得PB₁⊥平面AA₁B₁B，过点B₁作棱AB的垂线，垂足为O，连接OP，得∠POB₁即为二面角A₁-AB-P的平面角，由此能示出二面角A₁-AB-P的正弦值．

解答： （1）证明：∵A₁B⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁B⊥BC，
在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，BC?平面BB₁C₁C，
∴平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（2）解：由（1）知B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴PB₁⊥平面AA₁B₁B，
过点B₁作棱AB的垂线，垂足为O，连接OP，
则∠POB₁即为二面角A₁-AB-P的平面角，
连接AB₁，在△ABB₁中，由余弦定理得AB1=2

7

，
∵PA=

29

，∴PB₁=1，∴OP=

13

，
∴sin∠POB₁=

13

13

．
∴二面角A₁-AB-P的正弦值为

13

13

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．