Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC=2，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥C-BB₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB₁，证明AB⊥平面B₁OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，即可证明平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明B₁O即点B₁到平面BCD的距离，即可求三棱锥C-BB₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB₁．
因为B₁B=B₁A，所以OB₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因为OD?平面B₁OD，所以AB⊥OD．…（3分）
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，
所以OD⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁．       …（6分）
（Ⅱ）解：三棱锥C-BB₁D的体积=三棱锥B₁-BCD的体积
由（Ⅰ）知，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，OB₁⊥AB，OB₁?平面ABB₁A₁
所以OB₁⊥平面ABC，即OB₁⊥平面BCD，B₁O即点B₁到平面BCD的距离，B1O=

3

…（9分）
S△BCD=

1

2

S△ABC=1…（11分）
所以VC-BB1D=VB1-BCD=

1

3

×1×

3

=

3

3

…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．