Question

已知二次函数y=f（x）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x）．若向量

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），则满足不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）的m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,二次函数的性质

专题：综合题,平面向量及应用

分析：由已知中二次函数y=f（x）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．我们可以判断函数的图象是以x=1为对称轴，开口方向朝下的抛物线，再由向量

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），结合 二次函数的性质和向量数量积运算，我们可以得到一个关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．

解答： 解：∵对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．
故函数的对称轴为x=1，
∵

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），
∴

a•

b

=m²+2，
∴|m²+2-1|＜|-1-1|
解得-1＜m＜1
故答案为：（-1，1）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积的运算，其中根据二次函数的性质和向量数量积运算，将不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）转化为一个关于m的不等式，是解答本题的关键．