Question

9．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+ax+1在（-1，0）上有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：当-$\frac{1}{2}$＜x＜0 时，f（x）＞$\frac{11}{12}$．

Answer 1

分析 （1）求导数知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有两不等实根，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a＞0}\\{g（0）=a＞0}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+（-1）+a＜0}\end{array}\right.$，即可求出实数a的取值范围；
（2）确定ax₂＞$\frac{1}{2}$x₂，可得f（x₂）=$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+ax₂+1＞$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+x₂+1，设h（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+$\frac{1}{2}$x+1，x∈（-$\frac{1}{2}$，0），h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）递增，即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+ax+1，
∴f′（x）=2x²+2x+a，由题意知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有两不等实根，
设g（x）=2x²+2x+a，其图象的对称轴为直线x=-$\frac{1}{2}$，
故有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a＞0}\\{g（0）=a＞0}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+（-1）+a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
（2）证明：由题意知x₂是方程2x²+2x+a=0的大根，从而x₂∈（-$\frac{1}{2}$，0），
由于0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴ax₂＞$\frac{1}{2}$x₂，
∴f（x₂）=$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+ax₂+1＞$\frac{2}{3}$x₂³+x₂²+x₂+1．
设h（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+$\frac{1}{2}$x+1，x∈（-$\frac{1}{2}$，0），
h′（x）=2（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）递增，
∴h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{12}$，即f（x₂）＞$\frac{11}{12}$成立．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．