Question

正项等比数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，S₃=13
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，且b₂=5，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，设A_n=a_nb_n，求{A_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由a₁=1以及S₃=13求出等比数列的公比，即可得到{a_n}的通项公式；（注意是正项等比数列，公比为正）．
（Ⅱ）先由条件b₂=5，以及a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列求出等差数列{b_n}的通项公式；再利用错位相减法求出{A_n}的前n项和T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）设公比为q，则S₃=1+q+q²=13，
∴q²+q-12=0
∴q=3或q=-4

∵an＞0∴q=3 ∴an=a1•qn-1=3n-1

（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，由b₂=5，可设b₁=5-d，b₃=5+d
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d₁=2，d₂=-10
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0∴d=2，∴b₁=5-d=3
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1
∵A_n=a_nb_n=（2n+1）•3^n-1
则T_n=3+5×3+7×3²+9×3³+…+（2n+1）3^n-1①
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n+1）3ⁿ②
由①-②得-2T_n=3+2×（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2

3(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)3n=3-3+3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n•3ⁿ
∴T_n=n•3ⁿ

点评：本题第二问主要涉及到错位相减法求数列和的应用问题．错位相减法求数列和适用与一等差数列与一等比数列组成的新数列．