Question

【题目】设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，判断单调性可得，即可得到的范围.

解：∵函数有两个极值点分别为，
的定义域为，

，
令，其判别式.
当时，在上单调递减，不合题意.
当时，的两根都小于零，在上，，则在上单调递减，不合题意.
当时，，设的两个根都大于零，
令，
当时，，当时，，当时，，
故分别在上单调递减，在上单调递增，
∴的取值范围是.
则，

，
.
若恒成立，则，
，
不妨设，则.
又，
①恒成立.
记，
记，
在上单调递增，在上单调递减，
且易知.又，
∴当时，；当时，.
故由①式可得，，代入方程，
得，（在上递增）.
又，

∴的取值范围是.
故答案为：.