【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的图象在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)y+3=0;(2)见解析
【解析】
(1)先把代入,对函数求导,然后结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线方程;
(2)先对函数求导,对进行分类讨论,确定导数的符号,进而可求函数的单调性.
解:(1)时,
,
,
,
,
故的图象在点
处的切线方程
;
(2)函数的定义域,
,
当时,
时,
,函数单调递减,
时,
,函数单调递增,
当时,
时,
,函数单调递减,
,
时,
,函数单调递增,
当时,
恒成立,
在
上单调递增,
当时,
时,
,函数单调递减,
,
时,
,函数单调递增,
综上:当时,函数在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,函数在
上单调递减,在
,
上单调递增,
当时,
在
上单调递增,
当时,函数在
单调递减,在
,
上单调递增.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=(ax2-2x)ex,其中a≥0.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)在[-1,1]上为单调函数,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况,从全校1000名学生中随机选出40名学生,参加“体能达标”预测,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的,则全校“体能达标”为“合格”;否则该校“体能达标”为“不合格”,需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组,其中甲组有24名学生,乙组有16名学生经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6(题中所有数据的最后结果都精确到整数).
(1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差
;
(2)假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布用样本平均数
作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
.利用估计值估计:该校学生“体能达标”预测是否“合格”?
附:①个数
的平均数
,方差
;
②若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.
(1)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:
10.02 | 9.78 | 10.04 | 9.92 | 10.14 | 10.04 | 9.22 | 10.13 | 9.91 | 9.95 |
10.09 | 9.96 | 9.88 | 10.01 | 9.98 | 9.95 | 10.05 | 10.05 | 9.96 | 10.12 |
经计算得xi=9.96,s
0.19;其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数
作为μ的估计值
,用样本标准差s作为σ的估计值
,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?
(2)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求/span>P(X=1)及X的数学期望.
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x),若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(﹣∞,3)D.(﹣∞,3]
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