Question

【题目】如图，四棱锥中，，，与都是等边三角形，且点在底面上的射影为.

（1）证明：为的中点；

（2）求异面直线与所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接AC，取AC的中点N，连接MN，DN，利用线面垂直的判定证明点M在底面上的射影为N，结合点M在底而ABCD上的射影为O，可得N与O重合，即O为AC的中点；
（2）设，，求解三角形可得.再由DA＝DC，O是AC的中点，得，得到，故异面直线MD与BC所成角为.在中求解，可得异面直线与所成的角.

（1）证明：接，取的中点，连接、，

∵与都是等边三角形且公共边为，

∴，

又∵是的中点，

∴，

在中，，

∴，

∴，

又∵，

∴平面，故点在底面上的射影为，

又已知点在底面上的射影为，

∴与重合即为的中点；

（2）设，，

∵，

为等腰直角三角形，

则，，

，

则，

∴，

故，

又∵，是的中点，

∴，

∴，

故异面直线与所成的角为，

在中，，

∴，

即异面直线与所成的角为.