Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M是SA的中点，，，.

（1）求证：平面SCD；

（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，连接，设，，由已知可得，则，又平面底面，由面面垂直的性质可得平面；

（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，可得，则底面，故为斜线在底面内的射影，求解三角形可得，从而，过点作，则底面，可得、、两两垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，

设，，

依题意，四边形ABED为正方形，

且有,

，则.

又平面底面ABCD，平面底面，

平面SCD；

（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，

平面底面ABCD，

平面底面，

平面SCD，底面ABCD，

故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，

为斜线SD与底面ABCD所成的角，即.

由（1）得，，在中，，，

在中，，

由余弦定理得，

，从而，

过点D作，底面ABCD，

DB、DC、DF两两垂直，

如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，

设平面MBD的法向量，

由，

取，得；

设平面SBC的一个法向量为，

由，

取，得.

.

平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为.