【题目】已知实数a、b满足a2+b2-ab=3.
(1)求a-b的取值范围;
(2)若ab>0,求证:.
【答案】(1)﹣2≤a﹣b≤2;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由已知得a2+b2=3+ab≥2|ab|.
①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;
②当ab<0时,3+ab≥﹣2ab,解得 ab≥﹣1,即﹣1≤ab<0,
得0≤3﹣ab≤4,即0≤(a﹣b)2≤4,即﹣2≤a﹣b≤2;
(2)由(1)知0<ab≤3,可得,
利用配方法即可容易证明.
(1)因为a2+b2﹣ab=3,所以a2+b2=3+ab≥2|ab|.
①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;
②当ab<0时,3+ab≥﹣2ab,解得 ab≥﹣1,即﹣1≤ab<0,
所以﹣1≤ab≤3,则0≤3﹣ab≤4,
而(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=3+ab﹣2ab=3﹣ab,
所以0≤(a﹣b)2≤4,即﹣2≤a﹣b≤2;
(2)由(1)知0<ab≤3,
因为
当且仅当ab=2时取等号,
所以.
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占,电冰箱销量约占).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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【题目】近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只数量(万只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指数 | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为,去掉第一年数据后得到的相关系数为,则;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知函数f(x)=x2+acosx.
(1)求函数f(x)的奇偶性.并证明当|a|≤2时函数f(x)只有一个极值点;
(2)当a=π时,求f(x)的最小值;
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【题目】2020年春节期间,新型冠状病毒(2019﹣nCoV)疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻全国人民众志成城.共克时艰,为疫区助力.我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力,募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市.
(1)现对100家商家抽取5家,其中2家来自A地,3家来自B地,从选中的这5家中,选出3家进行调研.求选出3家中1家来自A地,2家来自B地的概率.
(2)该市一商家考虑增加先进生产技术投入,该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量.现用以往的先进技术投入xi(千元)与月产增量yi(千件)(i=1,2,3,…,8)的数据绘制散点图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近,且:,,,,,其中,,,根据所给的统计量,求y关于x回归方程,并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量.
附:对于一组数据(u1,v1)(u2,v2),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
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【题目】把4个相同的小球全部放入2个不同的盒子里,每个盒子至少放1个球,不同的放法数记为;把4个不同的小球全部放入2个不同的盒子里,每个盒子至少放1个球,不同的放法数记为.现在从到的所有整数中(包括和两个整数)抽取3个数,则这3个数之和共有( )种结果.
A.26B.27C.28D.29
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为A,过的直线与y轴交于点M,满足(O为坐标原点),且直线l与直线之间的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线上是否存在点P,满足?存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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【题目】11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.
(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;
(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.
①求;
②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.
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