【题目】已知函数f(x)=x2+acosx.
(1)求函数f(x)的奇偶性.并证明当|a|≤2时函数f(x)只有一个极值点;
(2)当a=π时,求f(x)的最小值;
【答案】(1)偶函数,证明详见解析;(2).
【解析】
(1)由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性;要说明函数只有一个极值点,即导函数只有一个零点,结合导函数的单调性即可解决;
(2)讨论函数f(x)的单调性,求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值.
(1)因为f(﹣x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
f′(x)=2x﹣asinx,f′(0)=0,故只需讨论x>0时情况,
∵x>0,由三角函数的性质知,x>sinx,2≥|a|,∴f′(x)>0,∴x>0时,f(x)是增函数,
又f(x)是偶函数,所以x<0时,f(x)单调递减.
故|a|≤2时,函数f(x)只有一个极小值点x=0.
(2)由(1)知,只需求x≥0时f(x)的最小值.
,
设h(x)=2x﹣πsinx,h′(x)=2﹣πcosx,因为,
由零点存在性定理,存在唯一的,使得h′(x0)=0.
当x∈(0,x0),h′(x)<0,h(x)递减;.
又因为h(0)=h()=0,所以x
时,f′(x)=h(x)<0恒成立,f(x)在(0,
)上递减;
当x时,f′(x)=2x﹣πsinx>π﹣πsinx>0,f(x)为增函数.
所以.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,离心率为
,过
的直线
与椭圆
交于
,
两点,且
周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线,使以
为直径的圆经过坐标原点
,若存在求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】平行志愿投档录取模式是高考志愿的一种新方式,2008年教育部在6个省区实行平行志愿投档录取模式的试点改革.一年的实践证叨,实行平行志愿投档录取模式,有效降低了考生志愿填报风险.平行志愿是这样规定:在同一批次设置几个志愿,当考生分数达到这几个学校提档线时,本批次的志愿依次检索录取.某考生根据对自己的高考分数和对往年学校录取情况分析,从报考指南中选择了10所学校,作出如下表格:
学校 | ||||||||||
专业 | 数学系 | 计算机系 | 物理系 | |||||||
录取概率 | 0.5 | 0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.7 | 0.8 | 0.9 |
(1)该考生从上表中的10所学校中选择4所学校填报,记为选择的4所学校中报数学系专业的个数,求
的分布列及其期望
;
(2)若该考生选择了、
、
、
这4个学校在同一批次填报志愿,填报志愿表如下,如果仅以该考生对自己分析的录取概率为依据,当改变这4个志愿填报的顺序时,是否改变他本批次录取的可能性?请说明理由.
志愿 | 学校 |
第一志愿 | |
第二志愿 | |
第三志愿 | |
第四志愿 |
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【题目】自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来,湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏,全国各地纷纷驰援.某运输队接到从武汉送往该市物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送240t物资.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次,B型卡车4次,每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元,B型卡车1800元,则每天派出运输队所花的成本最低为_____.
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【题目】自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来,湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏,全国各地纷纷驰援.某运输队接到从武汉送往该市物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送240t物资.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次,B型卡车4次,每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元,B型卡车1800元,则每天派出运输队所花的成本最低为_____.
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【题目】检验中心为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,对份血液样本,有以下两种检验方式:①逐份检验,需要检验
次;②混合检验,即将其中
(
且
)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,这
份的血液全为阴性,因而这
份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这
份血液究竟哪几份为阳性,再对这
份再逐份检验,此时这
份血液的检验次数总共为
次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为
.
(1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;
(2)现取其中(
且
)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为
,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为点
.当
时,根据
和
的期望值大小,讨论当
取何值时,采用逐份检验方式好?
(参考数据:,
,
,
,
,
.)
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