Question

【题目】已知.

（1）当时，不等式恒成立，求m的取值范围；

（2）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）依题意，当x≥0时，恒成立.

设，则x≥0时，k(x)≥0恒成立，

若，则x>0时，，k(x)在[0，+∞)上为增函数.

于是，x≥0时，k(x)≥k(0)=0.因此，符合要求.

若，则2m>1，0<x<ln(2m)时，k'(x)<0，k(x)在上为减函数.

于是，.因此，不符合要求.

所以m的取值范围为.

（2）解法一：设，则.

当x<ln4时，g'(x)<0；当x>ln4时，g'(x)>0

所以g(x)在(-∞，ln4]上为减函数，在[ln4，+∞)上为增函数.

所以g(x)≥g(ln4)=4-4ln4.

由此可得，g(x)=ex-4x≥4-4ln4，即，

当且仅当x=ln4时等号成立.

所以x>0时，，

当且仅当x=ln4时等号成立.

设h(x)=4x-4lnx-4，则.

当0<x<1时，h'(x)<0；当x>1时，h'(x)>0.

所以h(x)在(0，1]上为减函数，在[1，+∞)上为增函数.

所以h(x)≥h（1）=0，即，

当且仅当x=1时等号成立.故.

由于上述两个等号不同时成立，因此.

所以当x>0时，f(x)>4lnx+8-8ln2.

解法二：设，

则.

由g"(x)=，知g'(x)为增函数.

又g'（1）=e-4<0，g'（2）=e2-2>0，因此，g'(x)有唯一零点，设为x0.

则x0∈(1，2)，且0<x<x0时，g'(x)<0；x>x0时，g'(x)>0

所以g(x)在区间(0，x0]上为减函数，在区间[x0，+∞)上为增函数.

所以g(x)有最小值.

又由，知，

两边取对数，得.

所以

.

所以当x>0时，g(x)≥g(x0)>0，故当x>0时，.