Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）若直线与曲线至多只有一个公共点，求实数的取值范围；

（2）若直线与曲线相交于，两点，且，的中点为，求点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线和直线的方程化为直角坐标方程，并联立直线和曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可求出实数的取值范围；

根据题意，设，，的中点为，直线和曲线的直角坐标方程联立，得到关于的一元二次方程，由两个交点，可得判别式，求出取值范围，利用韦达定理和点在直线上表示出点坐标，消去参数即可求出，的中点的轨迹方程.

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

消去参数可得，曲线的直角坐标方程为，

由题意知，直线的极坐标方程可化为，

因为，所以直线的直角坐标方程为，

联立方程，可得，

因为直线与曲线至多只有一个公共点，

所以判别式，解得或，

所以所求实数的取值范围为或.

（2）设，，的中点为，

联立方程，可得，

所以判别式，解得，

由韦达定理可得，，

因为点在直线上，所以，

所以可得，即为点的轨迹方程.