Question

已知椭圆（）的右焦点为，离心率为．

（1）若，求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点．若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：解法一：（1）由已知椭圆的半焦距c=3，又，根据离心率的定义得，则，

所以，从而得出所求椭圆的方程为．

（2）根据题意可设点A、B的坐标分别为，联立直线方程y=kx与椭圆方程 ，

消去y得 ，则 ，因为原点O在圆上，所以OM⊥ON，

根据三角形中位线性质可知四边形为矩形，所以，又所以

，因此 ，

即 ，从而可整理得 ，又因为 ，所以

，即，从而，所以，因此，解得．（如图所示）

解法二：（1）由题意得，得．

结合 ，解得． 3分

所以椭圆的方程为． 4分

（2）由 ， 得．

设 ．

所以， 6分

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形为平行四边形，

所以， 7分

因为，

所以， 8分

即， 9分

将其整理为． 10分

因为，所以，． 11分

所以，即． 13分

考点：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系