Question

函数y=2sin（2x+φ）（0＜φ＜

π

2

）的一条对称轴为直线x=

π

12

．
（1）求φ；
（2）求该函数对称中心、单调区间；
（3）在图上画出函数y=2sin（2x+φ）在[-

π

6

，

5π

6

]上的简图．

Answer 1

分析：（1）由题意可知函数在x=

π

12

处取得最值，从而可得φ；
（2）令2x+

π

3

=kπ可得对称中心，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得函数的增区间，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得函数的减区间；
（3）利用“五点法”可作出函数图象，列表、描点、连线；

解答：解：（1）∵函数的一条对称轴为直线x=

π

12

，
∴2sin（2×

π

12

+φ）=±2，则

π

6

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
又0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

3

；
（2）由（1）知，y=2sin（2x+

π

3

），
令2x+

π

3

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴该函数的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0）；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴该函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴该函数的减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]；
（3）如下图  列表、描点、连线．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象作法、解析式的求解及其单调性，属中档题，熟练掌握三角函数的图象和性质是解决问题的关键．