Question

（本小题满分14分）

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在对角线A₁C₁上，记二面角P-AB-C为α，二面角P-BC-A为β。

(1) 当A₁P：PC₁=1：3时，求cos（α+β）的大小。

（2）点P是线段A₁C₁(包括端点)上的一个动点，问：当点P在什么位置时，α+β有最小值？

 

Answer 1

【答案】

（1）- （2）P为A₁C₁的中点

【解析】

试题分析： 

作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F

∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

∴点O在线段AC上，且AO：OC=1:3

∴α=∠PEO，β=∠PFO       

EO=，FO=，PO=1，PE=，PF=        2分

cosα=，sinα=，cosβ=， sinβ=

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ==-   4分

（2）（8分）

设A₁P=kA₁C₁，k∈[0,1]                                5分

由第（1）题可知α=∠PEO，β=∠PFO

EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  

cosα=，sinα=，cosβ=，

sinβ=                   7分

当k=0或1时，即点P与A₁或C₁重合时，其中一个角为，另一个角为，

此时α+β=，tan（α+β）= -1                                        8分

∴当k≠0，且k≠1时，tanα=，tanβ=zxxk

∴tan（α+β）

=       11分

∵k∈（0,1）    ∴      ∴tan（α+β）∈  

∵          ∴

∴tan（α+β）=时，α+β有最小值，此时k=时，即点P为A₁C₁的中点。  14分

考点：二面角的求法

点评：本题有一定难度，多章节知识的综合