Question

已知点F是抛物线y²=6x的焦点，抛物线内有一定点A（2，3），P是抛物线上的一动点，要使△PAF的周长最小，则点P的坐标是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可求得F（，0），设点P在抛物线y²=6x的准线上的射影为M，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|，要使△PAF的周长最小，只需|PM|+|PA|最小即可，而M，P，A三点共线时可满足，从而可求得点P的坐标．
解答：解：∵抛物线y²=6x的焦点F（，0），
设点P在抛物线y²=6x的准线上的射影为M，则|PF|=|PM|，
∴△PAF的周长l=|PF|+|PA|+|AF|=|PM|+|PA|+|AF|，
∴M，P，A三点共线时|PM|+|PA|=|AM|，△PAF的周长l最小；
又点A（2，3），
∴点P的纵坐标为y_P=3，又P是抛物线y²=6x的一点，
∴点P的横坐标x_P=．
∴点P的坐标为（，3）．
故答案为：（，3）．
点评：本题考查抛物线的简单性质，着重考察抛物线的定义的应用，突出考查转化思想的运用，属于中档题．