Question

一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动．如图所示，已知AB=4

2

dm，AD=17dm，∠BAC=45°．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？

Answer 1

分析：构建三角形ABC，利用余弦定理，建立方程，即可求得机器人最快可在何处截住足球．

解答：解：设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC=xdm．  （2分）
由题意，CD=2xdm．AC=AD-CD=（17-2x）（dm）．               （4分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA．                               （6分）
即x2=(4

2

)2+(17-2x)2-2×4

2

×(17-2x)cos45°．                 （8分）
解得x1=5(dm)，x2=

37

3

(dm)．                                       （10分）
∴AC=17-2x=7（dm），或AC=-

23

3

(dm)（不合题意，舍去）．        （11分）
答：该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球．        （12分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是构建满足题意的三角形，属于中档题．