Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=

2

，BB₁=1，则AB₁与C₁B所成角的大小为（　　）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

Answer 1

分析：取A₁B₁中点D，连结BD、C₁D，矩形AA₁B₁B中利用三角函数的定义，证出∠B₁BD=∠B₁AB，可得AB₁⊥BD．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中证出AB₁⊥平面BC₁D，从而得出AB₁⊥C₁B，即AB₁与C₁B所成角的大小为90°．

解答：解：取A₁B₁中点D，连结BD、C₁D，
∵矩形AA₁B₁B中，tan∠B₁BD=tan∠B₁AB=

2

2

∴∠B₁BD=∠B₁AB=90°-∠ABD，可得∠B₁AB+∠ABD=90°
因此AB₁⊥BD
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B
平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B=A₁B₁，DC₁⊥A₁B₁
∴直线DC₁⊥平面AA₁B₁B，可得DC₁⊥AB₁
∵DC₁∩BD=D，∴AB₁⊥平面BC₁D
因此，可得AB₁⊥C₁B，即AB₁与C₁B所成角的大小为90°
故选：B

点评：本题在正三棱柱中求异面直线所成角大小．着重考查了正棱柱的性质、空间垂直位置关系的判断与性质等知识，属于中档题．