Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣x2 ， a∈R，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2 ， 且x3∈
（x1 ， x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数f（x）=alnx﹣x2，x＞0，a∈R，

∴f′（x）= ﹣2x= ；

当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在定义域上是减函数；

当a＞0时，令f′（x）=0，即a﹣2x2=0，解得x= ，

∴x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，

0＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

综上，a≤0时，f（x）的减区间是（0，+∞），

a＞0时，f（x）的减区间是（ ，+∞），增区间是（0， ）；

（2）

解：根据（1）知，a≤0时，f（x）的减区间是（0，+∞），

令f（1）＜0，则﹣x2＜0恒成立，∴a≤0满足题意；

a＞0时，f（x）的减区间是（ ，+∞），增区间是（0， ）；

当 ≤1，即0＜a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴0＜a≤2满足题意；

当 ＞1，即a＞2时，f（x）的最大值是f（ ），令f（ ）≤0，

即aln ﹣ ≤0，解得a≤2e，即2＜a≤2e满足题意；

综上，a的取值范围是a≤2e；

（3）

解：当a＞0时，A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2时，

∴x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，如图所示；

∴kAB= = ，

又∵f′（x）= ﹣2x，

∴kl=f′（x3）= ﹣2x3．

∴ = ﹣2x3．

∵f′（x）= ﹣2x在（0，+∞）上是减函数，

∴欲证：x3＜ ，即证明f′（x3）＞f′（ ），

即 ＞ ﹣（x1+x2），

变形为 ＞ ，

∴ln ＞2 ，

∴ln ＞2 ；

设 =t（t＞1），

则上述不等式等价于lnt＞2 ，

即（t+1）lnt＞2（t﹣1）；

构造函数g（t）=lnt+ ﹣1，

当t＞1时，g′（t）= ﹣ = ，

∴g′（t）在（1，+∞）上为增函数；

∴g′（t）＞g′（1）=0，

∴g（t）在t＞1时是增函数，

∴g（t）＞g（1）=0；

∴g（t）＞0在（1，+∞）上恒成立，

即（t+1）lnt＞2（t﹣1）恒成立．

∴x3＜ 恒成立．

【解析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数来判断f（x）的增减性，从而求出单调区间；（2）根据f（x）的单调区间，求出f（x）在（1，+∞）上的最大值，令最大值小于或等于0，求出a的取值范围；（3）当a＞0时，求出直线AB的斜率kAB ， 由直线AB与切线平行，得出x3与x1+x2的关系式；构造函数g（t），利用函数的单调性证明不等式x3＜ 恒成立即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．