Question

8．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面ABB₁A₁，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB₁A₁为菱形且ABAA₁=60°，D为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）记平面BCD∩平面A₁C₁CA=l，在图中作出l，并说明画法（不用说明理由）；
（Ⅱ）求直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：延长BD与A₁A交于F，连接CF交A₁C₁于点E，则直线CE（或CF）即为l．
法二：取A₁C₁中点E，连接ED，CE，则直线CE即为l．
（Ⅱ）取AB的中点O，以O为原点，分别以OA，OA₁，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）方法一：延长BD与A₁A交于F，连接CF交A₁C₁于点E，
则直线CE（或CF）即为l．…（5分）
方法二：取A₁C₁中点E，连接ED，CE，
则直线CE即为l．…（5分）
（Ⅱ）取AB的中点O，因为△ABC为等边三角形，
则CO⊥AB，CO⊆平面ABC，底面ABC⊥侧面ABB₁A₁且交线为AB，
所以CO⊥侧面ABB₁A₁．…（6分）
又侧面ABB₁A₁为菱形且$∠BA{A_1}={60^o}$，
所以△AA₁B为等边三角形，所以A₁O⊥AB．
以O为原点，分别以OA，OA₁，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（-1，0，0），$C（{0，0，\sqrt{3}}）$，
${A_1}（{0，\sqrt{3}，0}）$，${B_1}（{-2，\sqrt{3}，0}）$，$D（{-1，\sqrt{3}，0}）$，${C_1}（{-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，
则A₁C₁中点$E（{-\frac{1}{2}，\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．…（8分）
设平面B₁C₁CB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
$\overrightarrow{BC}=（{1，0，\sqrt{3}}），\overrightarrow{B{B_1}}=（{-1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{-\frac{1}{2}，\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$n=（{\sqrt{3}，1，-1}）$…（10分）
设直线l与平面B₁C₁CB所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
即直线l与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查满足条件的直线的画法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．