Question

20．设抛物线y²=4x有内接三角形OAB，其垂心（三条边上的高所在直线的交点）恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于-1即可求得A、B的坐标，进一步求得三角形周长．

解答 解：如图，

解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设直线AB的方程是x=m，则A（m，-2$\sqrt{m}$）、B（m，2$\sqrt{m}$），
∵△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（1，0 ），
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴$\frac{-2\sqrt{m}}{m-1}•\frac{2\sqrt{m}}{m}=-1$，解得m=5，
∴直线AB的方程是x=5，则A（5，-2$\sqrt{5}$），B（5，$2\sqrt{5}$），
则|OA|=|OB|=$\sqrt{{5}^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}=3\sqrt{5}$，|AB|=4$\sqrt{5}$．
∴三角形的周长为$10\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题．