Question

5．已知抛物线y=x²在点A（2，4）处的切线为m．
（1）求切线m的方程；
（2）若切线m经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义确定切线的斜率．
（2）求出切线与x轴、y轴的交点，即可求c，b，a

解答 解：（1）由y=x²，得：y′=2x，∴y′|_x=2=-4，
所以，抛物线y=x²在点（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即y=4x-4．
切线m的方程：y=4x-4；
（2）切线m的方程：y=4x-4，交x轴于点A（I，0），即椭圆的焦点（1，0），
交y轴于点B（0，-4），即椭圆下顶点（0，-4）
∴c=1，b=4，a=$\sqrt{17}$，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{17}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$

点评 本题考查了函数的切线方程，及椭圆的方程，属于基础题．