Question

求抛物线y＝x²与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分割 　　在区间[0，1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]． 　　记第i个区间为[](i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝．分别将上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn． 　　S＝． 　　(2)近似代替 　　记f(x)＝x2，当n很大，即Δx很小时，在区间[]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()．就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样，在区间[]上，用小矩形的面积Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 　　ΔSi≈Δ＝f()ΔS＝()2·Δx＝()2·(i＝1，2，…，n)　　① 　　(3)求和 　　由①Sn＝ 　　＝[0·＋()2·＋…＋()2·]＝[12＋22＋…＋(n－1)2] 　　＝，从而得到S的近似值 　　S≈Sn＝(1－)(1－)　　② 　　(4)逼近 　　分别将区间[0，1]等分成8，16，20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝(1－)(1－)越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋向于，即所求面积为．