Question

如图，在RtΔAOB中，，斜边AB=4。RtΔAOC可以通过在RtΔAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。

（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值。

Answer 1

（1）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是二面角的平面角，
又二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB。
（2）解：作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，在平面AOB中，则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，
在RtΔCOE中，CO=BO=2，，
∴，　
又，
∴在RtΔCDE中，，
∴异面直线AO与CD所成角的正切值为。
（3）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且，
当OD最小时，∠CDO最大，
这时，OD⊥AB，垂足为D，，，
∴CD与平面AOB所成的角最大时的正切值为。