Question

12．已知函数f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$．
（1）解关于x的不等式f（x）≥0．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式可化为$\frac{x-2a}{ax}$≤0，分类讨论可得；
（2）f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立等价于f（x）+2x的最小值≥0，由基本不等式可得．

解答 解：（1）由f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$≥0可得$\frac{x-2a}{ax}$≤0，
①当a＞0时解集为{x|0＜x≤2a}，
②当a＜0时解集为{x|x≤2a或x＞0}；
（2）当x＞0时f（x）+2x=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$+2x≥-$\frac{1}{a}$+2$\sqrt{\frac{2}{x}•2x}$=-$\frac{1}{a}$+4，
当且仅当$\frac{2}{x}$=2x即x=1时等号成立；
若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立等价于-$\frac{1}{a}$+4≥0，
解不等式可得a的取值范围为a＜0或a≥$\frac{1}{4}$

点评 本题考查分式不等式的解集，涉及分类讨论的思想和基本不等式求最值，属基础题．