Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ba_n+c．
（1）当a、b、c满足什么条件时，{a_n}是等差数列；
（2）当a、b、c满足什么条件时，{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1-a_n=（b-1）a_n+c及等差数列的概念可知b-1=0即b=1；
（2）通过$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b+$\frac{c}{{a}_{n}}$及等比数列的概念可知$\frac{c}{{a}_{n}}$=0即c=0．

解答 解：（1）依题意，a_n+1-a_n=ba_n+c-a_n=（b-1）a_n+c，
∵数列{a_n}是等差数列，
∴b-1=0，即b=1，
∴当b=1时数列{a_n}是等差数列；
（2）依题意，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{b{a}_{n}+c}{{a}_{n}}$=b+$\frac{c}{{a}_{n}}$，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴$\frac{c}{{a}_{n}}$=0，即c=0，
∴当c=0时数列{a_n}是等比数列．

点评 本题考查等差、等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于中档题．