Question

3．已知sin（$\frac{π}{2}$-α）+cos（$\frac{2π}{3}$-α）=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，求cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的余弦公式、诱导公式求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用二倍角的余弦公式求得要求式子的值．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{2}$-α）+cos（$\frac{2π}{3}$-α）=cosα+cos$\frac{2π}{3}$cosα+sin$\frac{2π}{3}$sinα
=$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=1-2•${sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）$=1-2×$\frac{12}{25}$=$\frac{1}{25}$．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．