Question

（本题满分15分）

    已知函数在x=±1处取得极值

（1）求函数的解析式；

（2）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有≤4；

（3）若过点A（1，m）（m ≠－2）可作曲线的三条切线，求实数m的范围。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）f(x)=x3－3x

（2）略

（3－3<m<－2）

【解析】解：   （1）=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即             …………………   2分

        解得a=1，b=0.

        ∴f(x)=x3－3x.           ………………………    4分

   （2）∵f(x)=x3－3x,∴f ′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

当－1<x<1时，f ′ (x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，

fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2    ……………………   6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|

|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(－2)=4     ………………  8分

   （3）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为，

整理得.

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根.   ………………  11分

设g(x­₀)= ，则g′(x0)=6，

由g′(x₀)=0，得x0=0或x0­=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1  …………… 13分

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3<m<－2.

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.   ……………  15分