Question

（2013•青浦区一模）已知数列{a_n}满足a1=2 ，an+1=3an+3n+1-2n (n∈N*)．
（1）设bn=

an-2n

3n

，证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合等差数列的定义，可得数列{b_n}为等差数列，确定其通项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：（1）证明：∵bn+1-bn=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=1，…（2分）
∴{b_n}为等差数列．
又b₁=0，∴b_n=n-1．…（4分）
∴an=(n-1)•3n+2n．…（6分）
（2）解：设Tn=0•31+1•32+…+(n-1)•3n，则
3Tn=0•32+1•33+…+(n-1)•3n+1．
∴两式相减可得-2Tn=32+…+3n-(n-1)•3n+1=

9(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n+1．…（10分）
∴Tn=

9-3n+1

4

+

(n-1)•3n+1

2

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．   …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键．