Question

　　已知函数f(x)定义域为[0，1]，且同时满足

　　(1)对于任意x∈[0，1]，且同时满足；

　　(2)f(1)＝4；

　　(3)若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≤1，则有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)－3．

(Ⅰ)试求f(0)的值；

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；

(Ⅲ)设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁＝1，S_n＝(a_n－3)，n∈N^*．

求证：f(a₁)＋f(a₂)＋…＋f(a_n)＜log₃．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(Ⅰ)令x1＝x2＝0，则有f(0)≥2f(0)－3，即f(0)≤3． 　　又对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥3，所以f(0)＝3． 　　(Ⅱ)任取x1，x2∈[0，1]，x1＜x2， 　　f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]≥f(x1)＋f(x2－x1)－3． 　　因为0＜x2－x1≤1，∴f(x2－x1)≥3． 　　∴f(x2)≥f(x1)＋3－3＝f(x1)． 　　∴当x∈[0，1]时，f(x)≤f(1)＝4，所以函数f(x)的最大值为4． 　　(Ⅲ)当n＞1时，an＝Sn―Sn－1＝(an－3)－(an－1―3)，∴＝． 　　∴数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列． 　　an＝1×()n－1＝， 　　f(1)＝f[3n－1·]＝f[＋(3n－1－1)×]≥f()＋f[(3n－1－1)]－3≥… 　　4≥3n－1f()－3n＋3． 　　∴f()≤＝3＋，即f(an)≤3＋． 　　∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)≤(3＋)＋(3＋)＋…＋(3＋) 　　＝3n＋＝3n＋－＜3n＋＝3(n＋)． 　　又log3＝log333·32n－2＝(2n＋1)＝3(n＋)， 　　∴原不等式成立．

提示：

分析：(Ⅰ)令x＝y＝0赋值法和不等号的性质求f(0)的值；(Ⅱ)证明函数f(x)在[0，1]上的单调性求f(x)的最大值；(Ⅲ)先根据条件求数列{an}的通项公式，利用条件f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3放大f()，再利用求和的方法将f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)放大，证明不等式成立． 　　说明：这是一道涉及函数的单调性的应用、不等式的证明、数列的通项与求和的综合性题，难度较大，对思维能力要求较高，要求具有熟练掌握函数单调性的证明方法、数列求和和放缩法证明不等式等推理能力．