Question

已知函数f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

，函数g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．关于g（x）的零点，下列判断不正确的是（　　）

• A．若t=

  1

  4

  ，g(x)有一个零点
• B．若-2＜t＜

  1

  4

  ，g(x)有两个零点
• C．若t=-2，g（x）有三个零点
• D．若t＜-2，g（x）有四个零点

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的解析式，画出函数f（x）的图象，令m=f（x），可得m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，根据二次函数的图象和性质分析t取不同值时，g（x）=m²+m+t根的个数及分面情况，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：函数f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的图象如下图所示：

令m=f（x），m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，
若t=

1

4

，则g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

=[m+

1

2

]²=0
此时m=

1

2

，由上图可得，此时函数m=0有一个根，
即g（x）有一个零点，故A正确；
若t=-2，则g（x）=f²（x）+f（x）-2=（m+2）•（m-1）=0
此时m=-2，m=1，此时g（x）=0有三个根，
即g（x）有三个零点，故C正确；
若-2＜t＜

1

4

，则g（x）=m²+m+t=0有两个根，但均小于1
此时，g（x）=0有两个根，故B正确；
若t＜-2，则g（x）=m²+m+t=0有两个根，一个大于1，一个小于1
此时，g（x）=0有三个根，故D错误；
故选D

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数解析式的求解及常用方法，其中画出函数f（x）的图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．