Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且不等式x²-6x+8＜0的解集为{x|a₂＜x＜a₄}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用不等式知识求出a₂=2，a₄=4，再由等差数列的通项公式能求出a_n．
（2）由（1）推导出bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前项的和S_n．

解答： 解：（1）∵不等式x²-6x+8＜0的解集为{x|2＜x＜4}…（2分）
且等差数列{a_n}是递增数列
∴a₂=2，a₄=4，…（4分）
∴

a1+d=2 a1+3d=4

，
解得a₁=1，d=1，
∴等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=1，…（6分）
∴a_n=n…（7分）
（2）∵a_n=n，b n=

1

anan+1

，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．