Question

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，1）任作一直线交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且x₁•x₂=-4，则抛物线C的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：考虑本题是填空题，可一般问题特殊化，根据题意可设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点都有x₁•x₂=-4，特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，分别求出A、B的坐标，从而可求抛物线C的方程．

解答： 解：（一般问题特殊化）根据题意可设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）
过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点都有x₁•x₂=-4，
考虑特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，可得A（-

2p

，1），B（

2p

，1），
则有x₁x₂=-2p=-4，∴p=2
故答案为：x²=4y．

点评：本题主要考查了抛物线方程的求解，要注意解答本题时应用到的方法：一般问题特殊化可以减少运算．