Question

（本小题满分14分）已知函数。

(1)求函数的单调区间与最值；

(2)若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）

(3)如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵，，              -----1分

∴当时，，单调递增；当时，，单调递减。                                                            ----3分

∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。  -----4分

故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值。

（2）方程化为，                               -----5分

由（1）知，在区间上的最大值为-1，，，。故在区间上有两个不等实根需满足，                                                -----7分

∴，∴实数m的取值范围为。             -----8分

（3）∵，又有两个实根，

∴两式相减，得

∴                  -----10分

于是

=.

∵,∴,∵,∴。           -----11分

要证：，只需证：.

只需证：.                      (＊)

令，∴(＊)化为

只证即可.                                 -----12分

，，0<t<1，

∴t-1<0．

∴u'(t)>0,∴u(t)在(0，1)上单调递增，∴u(t)<u(1)=0

∴u(t)<0，

即：.

                   .............14分

【解析】略