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    设A、B为在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(b＞a＞0)    上两点，O为坐标原点．若OA丄OB，则△AOB面 积的最小值为______．
    设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-
    1
    k
    x，
    则点A（x1，y1）满足
    y=kx
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1
    故x12=
    a2b2
    b2-a2k2
    ，y12=
    k2a2b2
    b2-a2k2
    ，
    ∴|OA|2=x12+y12=
    (1+k2)a2b2
    b2-a2k2
    ，同理|OB|2=
    (1+k2)a2b2
    k2b2-a2
    ，
    故|OA|2•|OB|2=
    (1+k2)a2b2
    b2-a2k2
    •
    (1+k2)a2b2
    k2b2-a2
    =
    (1+k2)2(a2b2)2
    -a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

    ∵
    k2
    (k2+1)2
    =
    1
    k2+
    1
    k2
    +2
    ≤
    1
    4
    （当且仅当k=±1时，取等号）
    ∴|OA|2•|OB|2≥
    4a4b4
    (b2-a2)2
    ，又b＞a＞0，
    故S△AOB=
    1
    2
    |OA||OB|的最小值为
    a2b2
    b2-a2
    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按
    a
    =(1，-2)    平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=n    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
    AB
    与
    AP
    夹角为锐角θ，且满足 |
    PB
    | |
    AB
    | +
    PA
    •
    AB
    =0    ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=k    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
    ③若方程
    x2
    4-t
    +
    y2
    t-1
    =1    表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
    5
    2

    ④双曲线
    x2
    25
    -
    y2
    9
    =1与椭圆
    x2
    35
    +y2=1    有相同的焦点．
    其中真命题的序号为
    ③、④
    ③、④
    （写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源：黑龙江省绥棱县第一中学2011-2012学年高二上学期期末数学文科试题 题型：022

    在下面几个关于圆锥曲线命题中

    ①方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

    ②设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|－|PB|＝K，则动点P的轨迹为双曲线

    ③过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别为A1、B1，则∠A1FB1＝90°

    ④双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则

    其中真命题序号为________

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年江苏省徐州市邳州市运河中学高二（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：填空题

    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
    ③若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
    ④双曲线有相同的焦点．
    其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年四川省攀枝花七中高三（下）开学数学试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量与夹角为锐角θ，且满足 ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为    ．

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