【题目】如图，游客从某旅游景区的景点
处下上至
处有两种路径．一种是从
沿直线步行到
，另一种是先从
沿索道乘缆车到
，然后从
沿直线步行到
．现有甲、乙两位游客从
处下山，甲沿
匀速步行，速度为
．在甲出发
后，乙从
乘缆车到
，在
处停留
后，再从
匀速步行到
，假设缆车匀速直线运动的速度为
，山路
长为1260
，经测量
，
．
（1）求索道
的长；
（2）问：乙出发多少
后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）
；（2）当
时，甲、乙两游客距离最短；（3）
.
【解析】
试题分析：（1）根据两角和公式求得
，再根据正弦定理即可求得
的长；（2）假设乙出发
后，甲、乙两游客距离为
，分别表示出甲、乙二人行走的距离，根据余弦定理建立
的二次函数关系，求出使得甲乙二人距离最短时
的值；（3）根据正弦定理求得
,乙从
出发时，甲已走了
，还需走710
才能到达
,设乙步行的速度为
，由题意得
,J解不等式即可求得乙步行速度的范围.
试题解析：（1）在
中，因为
，
，
所以
，
，
从而
．
由正弦定理
，得
（
）．
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了
，乙距离
处
，
所以由余弦定理得
，
由于
，即
，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理
，
得
（
）．
乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得
，
所以为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
，乙步行的速度应控制在（单位：
）范围内．
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【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，左、右焦点
分别在
轴上，离心率为
，在其上有一动点
，
到点
距离的最小值是1.过
作一个平行四边形，顶点
都在椭圆
上，如图所示.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）判断
能否为菱形，并说明理由.
（Ⅲ）当
的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.
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【题目】已知函数
，
．
（1）若曲线
在
处的切线方程为
，求实数
的值；
（2）设
，若对任意两个不等的正数
，
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若在
上存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围．
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【题目】用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求
即144的所有正约数的和.
（注：每小题结果都写成数据形式）
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【题目】小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为
；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为
.
（1）求
能被
整除的概率.
（2）规定：若
，则小王赢；若
，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.
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【题目】如图，五面体
中，
，底面
是正三角形，
，四边形
是矩形，二面角
为直二面角．
（1）
在
上运动，当
在何处时，有
平面
，并说明理由；
（2）当
平面
时，求二面角
余弦值．
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【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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