Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P（-1，

2

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y²=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．
（3）在（2）的条件下，过点F₂作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点，则直线AF₁与直线BF₁的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件求出2a=|PF₁|+|PF₂|=2

2

，c=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设M（x₀，y₀）、N（x₀，-x₀），（x₀，y₀＞0），△OMN的面积S=x₀y₀，由此能求了出p的值．
（3）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有kAF2+kBF1=0．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），k≠0，A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x-1) y2= 1 2 x，x＞0

，由此能求出直线AF₁与直线BF₁，斜率之和为定值0．

解答： 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，…（1分），
∵椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P（-1，

2

2

）在椭圆上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

0+( 2 2 )2

+

4+( 2 2 )2

=2

2

，…（2分），
∴a=

2

，c=1，…（3分），
∴b=

a2-c2

=1，…（4分），
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）根据椭圆和抛物线的对称性，
设M（x₀，y₀）、N（x₀，-y₀），（x₀，y₀＞0）…（5分），
△OMN的面积S=

1

2

x0•(2y0)=x₀y₀，…（6分），
∵M（x₀，y₀）在椭圆上，∴

x02

2

+y02=1，∴y02=1-

x02

2

，
那么S²=x02y02=x 02（1-

x02

2

）=-

1

2

(x02-1)2+

1

2

，
当x02=1时，Smax2=

1

2

，
即当x₀=1，（x₀＞1）时，S_max=

2

2

．
将x₀=1代入y02=1-

x02

2

得

x0=1 y0= 2 2

，…（8分），
∵M（1，

2

2

）在抛物线y²=2px上，∴

1

2

=2p，
解得p=

1

4

．…（9分），
（3）（A）当直线l垂直于x轴时，
根据抛物线的对称性，有∠AF₁F₂=∠BF₁F₂，
则kAF2+kBF1=0．…（10分），
（B）当直线l与x轴不垂直时，
依题意设直线l的方程为y=k（x-1），k≠0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x-1) y2= 1 2 x，x＞0

．…（11分），
化简得2k²x²-（4k²+1）x+2k²=0，
依韦达定理得

x1+x2= 4k2+1 2k2 x1x2=1

，…（12分），
又kAF1=

y1

x1+1

=

k(x1-1)

x1+1

，yBF1=

k(x2-1)

x2+1

，
∴kAF1+kAF1=

k(x1-1)

x1+1

+

k(x2-1)

x2+1

=

k(x1-1)(x2+1)+k(x2-1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2k(x1x2-1)

(x1+1)(x2+1)

，
把

x1+x2= 4k2+1 2k2 x1x2=1

代入，得kAF1+kBF1=0，
综上，直线AF₁与直线BF₁的斜率之和为定值0．…（14分），

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查抛物线中参数的求法，考查两直线的斜率之和为定值的证明，解题时要注意等价转化思想的合理运用．