Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA₁、PA₂分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由已知椭圆C的离心率，可得 ，
∴椭圆的方程为．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线A₁M斜率为k₁，则直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），
由，解得，∴M点坐标为（，）．
同理，设直线A₂N的斜率为k₂则N点坐标为（，）．
由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，
又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴．
又MN的方程为，令y=0，得 ．
即直线MN与x轴交点为，又t＞2，∴．
又椭圆右焦点为，故当 过椭圆的焦点．
分析：（1）由题意得，，从而求得b、c的值，从而求得椭圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线方程代入椭圆的方程解出M点、N点坐标，由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，求出直线MN与x轴交点坐标，从而求得线MN是通过椭圆的焦点的条件．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．由于A₁、A₂两点已知，故易求得直线与椭圆的交点M和N的坐标，这样就易求出MN与x轴的交点，在计算过程中要注意计算的技巧．