【题目】已知正三棱柱
的底面边长为
，
为
的中点，平面
与平面
所成的锐二面角的正切值是
，则四棱锥
外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．推导出D也是C1M的中点，AM∥DE，AM⊥平面ACC1A1，可得
；再根据四棱锥A-BC
外接球即为正三棱柱ABC-
的外接球，找到球心位置，根据勾股数求得半径，即可得到表面积．
如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．
∵B1C1∥BC，D为BB1的中点，∴D也是C1M的中点，
又取E是AC1的中点，∴AM∥DE．
∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．
∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角．
∴tan∠C1AC
，∴
，又AC＝
，则
又四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱
的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的
处，又底面外接圆的半径为2r=
∴
，
∴四棱锥
外接球的表面积为
，
故答案为19
.
考前必练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）．
A.当
时，
B.函数有五个零点
C.若关于
的方程
有解，则实数
的取值范围是
D.对
，
恒成立
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类(不参加体育锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时)，调查结果如下表：
(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有
的把握认为参加体育锻炼与性别有关?
(2)从抽出的女性居民中再随机抽取3人进一步了解情况，记
为抽取的这3名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求的数学期望．
附：
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.
平均每天锻炼的时间/分钟 |
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总人数 | 34 | 51 | 59 | 66 | 65 | 25 |
将学生日均体育锻炼时间在
的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的
列联表；
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 40 | 160 | |
合计 |
（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
参考公式：
，其中
.
临界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知椭圆
的长轴
，长为4，过椭圆的右焦点
作斜率为
（
）的直线交椭圆于
、
两点，直线
，
的斜率之积为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
，直线
，
分别与
相交于
、
两点，设
为线段
的中点，求证：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】[2019·吉林期末]一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；
（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为
和
，求
的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的右焦点为
，原点为
，椭圆
的动弦
过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为
，过且垂直于线段的直线交射线
于点
.
（Ⅰ）证明：点在定直线上；
（Ⅱ）当
最大时，求
的面积.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝
x上时，求直线AB的方程．
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