Question

下列说法中
①设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆或线段；
②命题“每个指数函数都是单调函数”是全称命题，而且是真命题．
③离心率为

1

2

，长轴长为8的椭圆标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，则二次曲线

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦点坐标是（±1，0）．
其中正确的为

②④

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①当a＜6时，轨迹不存在．②根据全称命题的定义判断．③椭圆的焦点位置不确定，所以方程不确定．④当3＜k＜4，4-k＞0＞3-k曲线为双曲线，然后利用双曲线的方程确定c．

解答：解：①根据椭圆的定义可知，a＞6，所以当a＜6时，轨迹不存在，所以①错误．
②命题含有全称量词“每个”，所以命题是全称命题，且为真命题，正确．
③由题意知2a=8，所以a=4，由e=

c

a

=

1

2

，得c=2，所以b²=a²-c²=12，所以椭圆标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1，所以③错误．
④当3＜k＜4，4-k＞0＞3-k曲线为双曲线，双曲线方程为

x2

4-k

-

y2

k-3

，焦点在x轴上，所以a²=4-k，b²=k-3，所以c²=a²+b²=1，即c=1，所以焦点坐标是（±1，0），所以④正确．
故答案为：②④

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．